| Summary: | Ένα από τα παλαιότερα προβλήματα της Άλγεβρας ήταν το πρόβλημα εύρεσης των ριζών μίας πολυωνυμικής εξίσωσης. Από την αρχαιότητα σημειώθηκαν πολλές προσπάθειες επίλυσης αυτού του προβλήματος και τελικά στις αρχές του 1800 έχουμε την απόδειξη του αδυνάτου της λύσης της γενικής εξίσωσης πέμπτου βαθμού. Όμως έμεινε το πρόβλημα της εύρεσης των συνθηκών για τις οποίες μία εξίσωση μπορεί να λυθεί με ριζικά, το οποίο λύθηκε το 1832 από τον νεαρό Γάλλο μαθηματικό Evariste Galois και δημοσιεύθηκε στη Γαλλική Ακαδημία το 1843.
Στο πρώτο κεφάλαιο εισάγουμε μερικές βασικές έννοιες, της άλγεβρας, της θεωρίας κατηγοριών και της τοπολογίας οι οποίες είναι χρήσιμες για τη συνέχεια. Στο δεύτερο κεφάλαιο της εργασίας, αναφερόμαστε στα βασικά κομμάτια της θεωρίας Galois, καταλήγοντας στην αντιστοιχία μεταξύ διατεταγμένων συνόλων ενδιάμεσων επεκτάσεων σωμάτων, αφενός, και υποομάδων της ομάδας αυτομορφισμών της επέκτασης, αφεταίρου. Στο τρίτο κεφάλαιο αναφερόμαστε στη θεωρία Galois κατά Grothendieck, που επεκτείνει την κλασική αντιστοιχία Galois σε μία ανταλλοίωτη ισοδυναμία μεταξύ κατάλληλων κατηγοριών. Στο τέταρτο και τελευταίο κεφάλαιο της εργασίας μας αναφερόμαστε στην άπειρη θεωρία Galois, όπου οι επεκτάσεις που χρησιμοποιούμε είναι αυθαίρετες και όχι απαραίτητα πεπερασμένου βαθμού. Σε αυτήν την περίπτωση παίζει καθοριστικό ρόλο η τοπολογία της ομάδας Galois, αφού στη μία πλευρά της αντιστοιχίας εμφανίζονται τώρα οι κλειστές υποομάδες της ομάδας Galois. Και εδώ η αντιστοιχία Galois επεκτείνεται σε μία ανταλλοίωτη ισοδυναμία κατάλληλων κατηγοριών.
|
|---|
